Intégrale de \( \sin^3 x \)

Dérivation et évaluation

Évaluez l'intégrale :

\[ \int \sin^3 x \, dx \]

Écrivons l'intégrande \( \sin^3 x \) sous la forme d'un produit de \( \sin^2 x \) et \( \sin x \) :

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) pour écrire l'intégrale sous la forme :

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \]

Développons \( (1 - \cos^2 x)\sin x \) et écrivons :

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution : posons \( u = \cos x \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) ou \( du = -\sin x \, dx \). En substituant ceci, on obtient :

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx + \int u^2 \, du \]

Utilisez les formules d'intégrales pour évaluer l'intégrale :

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \cos x \) pour trouver la réponse finale :